La probabilidad en los juegos de tablero

 Siempre me pregunté si en el diseño de los juegos de mesa se incluye algún estudio probabilístico que compruebe si los beneficios están compensados con la probabilidad de alguna forma matemática. Esto es muy interesante, especialmente, en los juegos de mesa más complicados y en los juegos de rol, donde, en ocasiones, el coste de una mejora en puntos de experiencia no compensa el incremento real en la probabilidad de obtener un éxito en la habilidad.

Tratando de responder a estas preguntas se me ocurrió la idea de hacer el estudio yo mismo y comprobar en qué casos merece la pena (o no, según el coste) la mejora otorgada, y ésta es la intención de esta bitácora.

Sin embargo, antes de comenzar el estudio de algunos de estos juegos, sería interesante hacer un recordatorio sobre combinatoria, la parte de la matemática que nos permite calcular todas las formas en las que se pueden repartir una serie de elementos. La forma de calcular este reparto depende, únicamente, de qué es lo que define que un reparto sea distintos de otro: los elementos que lo compongan, el orden en que aparecen, o ambas cosas:

Variaciones: aquéllas en que importan tanto los elementos que componen el reparto como el orden que sigan. Un ejemplo típico, serían las banderas que se pueden hacer con n colores, suponiendo que cada bandera tenga m franjas. Una bandera que tenga los mismos colores, pero en orden distinto es diferente a la otra. Además (obviamente), una bandera con colores distintos, también es distinta. En este caso el cálculo sería n^m, en el caso de que un mismo elemento pudiera aparecer múltiples veces (en nuestro ejemplo, el mismo color en dos franjas distintas de la misma bandera) o n!/(n-m)! en caso de que no se puedan repetir (en nuestro ejemplo, cuántas banderas podríamos hacer con todos los colores de las franjas diferentes).

Pongamos un ejemplo, imaginemos que tengamos tres colores (rojo, verde y azul) y banderas con dos franjas. Si podemos repetir colores tendremos 3² = 9 banderas (rojo-rojo, rojo-verde, rojo-azul, verde-rojo, verde-verde, verde-azul, azul-rojo, azul-verde y azul-azul), y si no podemos repetir colores tendremos solamente 3!/(3-2)! = 6 (rojo-verde, rojo-azul, verde-rojo, verde-azul, azul-rojo y azul-verde).

Permutaciones: en este caso importa el orden y tienen que aparecer todos los elementos. Supongamos que tenemos que ver de cuántas formas se pueden repetir n elementos, ninguno de los cuales se repite. En ese caso, lo calculamos como n!

Si tenemos un total de n elementos que están compuestos por x1 repeticiones del elemento 1, x2 repeticiones del elemento 2, etc. (n=x1+x2+...) el cálculo sería n!/(x1!·x2!·...·xi!).

Por ejemplo: ¿cuántos números distintos de cuatro cifras podremos escribir con las cifras 3, 5, 7 y 9? Pues, como son cuatro elementos y todos ellos son disintos, serían 4!=24 (3579, 3597,3759,3795,3957,3975, 5379, 5397, 5739, 5793, 5937, 5973,7359, 7395, 7539, 7593, 7935, 7953, 9257, 9275, 9537, 9573, 9735 y 9753)

Pero si las cifras fueran 3, 3, 5 y 7, aunque sigue habiendo un total de cuatro elementos, uno de ellos está repetido dos veces, por lo que la cifra total de números que se podrán escribir será 4!(2!·1!·1!)=12 (3357, 3375, 3537, 3573, 3735, 3753, 5337, 5373, 5733, 7533, 7353 y 7335).

Combinaciones: en este caso, cada reparto (evito la palabra combinación para no confundirlo, precisamente, con este apartado) se distingue del anterior únicamente por lo elementos que lo formen, aunque dos repartos que tengan los mismos elementos pero en distinto orden se consideran iguales. Por ejemplo, si tengo un saco con cinco canicas distintas y cojo tres de ellas, ¿cuántos posibles repartos podría tener? En este caso, que saque la canica verde primero, roja después y blanca al final, da la misma posibilidad que sacar primero la blanca, luego la verde y la roja por último. Es decir, las combinaciones de m elementos (canicas) tomados de n en n (cuántas cojo, en el ejemplo) se calcula como m!/(n!·(m-n!)) en el caso de que no haya elementos repetidos o (m+n-1)!/(n!·(m-1)!) en el caso de que sí.

m!/(n!·(m-n)!) se conoce como el número combinatorio m sobre n (m n).

Ejemplo: un saco con cuatro canicas (verde, roja, azul y blanca), ¿cuántas combinaciones podría hacer si las sacara de tres en tres? 4!/(3!·1!)=4 que, lógicamente, son aquellas en que la que dejé por sacar fue la verde, la roja, la azul o la blanca.